This expression indicates that one has acquired new skill or ability, or that something which was impossible before has become possible. If the change has not occurred yet, the ending is not なりました, but なります.
前は 日本語が ききとれませんでしたが、今は ききとれるように なりました。
I couldn't catch Japanese words before, but now I can catch them.
おとうとは きょねんは かずが かぞえられませんでしたが、今年は かぞえられるように なりました。
My younger brother couldn't count numbers last year, but he can count numbers this year.
When the dictionary form is used instead of the potential form, the phrase V dic.ようになる simply expresses a change from one state to another. In this case, there is no implication of newly acquired knowledge or ability.
店が 新しくなってから、人が おおぜい 来るように なりました。
After the remodeling of the shop, many people started coming.
Lesson 7-2「りんごの 木は 大きくなりました。」
The apple trees have grown tall.
Lesson 7-2「りょうは しずかに なりました。」
The dormitory has become quiet.
Lesson 7-2「アリさんは 19才に なりました。」
Ali turned 19.