This expression indicates the beginning of an action or state. Here, the verbs in the te-form express what happens apart from the speaker's will(e.g., 降る[rain; snow], 晴れる[clear up], 聞こえる[be audible], においがする[smell]).
雨が降ってきました。
It has started to rain.
いいにおいがしてきました。
It has started to smell good.
Lesson 25(Dialog)「雪が降り始めました。」
It has started to snow.