Это выражение позволяет выбирать один предмет из ряда ему подобных и мягко рекомендовать его собеседнику. Говорящий не категоричен в своем предложении.
お茶でも飲みませんか。
Как насчет чая?
明日でも小林さんの家に電話をかけてみましょう。
Давай попробуем позвонить Кобаяси домой, например, завтра.
Если за N следуют другие частицы, такие как [место] へ или [человек] に, то でも ставится после этих частиц.
あしたは新宿へでも行きましょうか。
Давай завтра сходим куда-нибудь, хоть в Синдзюку, например?
この本は弟にでもやろうかと思っています。
Думаю, подарить, что ли, эти книги младшему брату?